La saturation de Hill
Un investissement supplémentaire produit souvent moins d'effet incrémental que les premières dépenses. La fonction de Hill modélise cette relation grâce à un point de demi-saturation et à une courbe qui décrit la vitesse à laquelle les retours augmentent puis plafonnent.
6 min de lecture · Mis à jour 7 septembre 2026
Ce que c’est
La saturation, ce sont les rendements décroissants : chaque euro supplémentaire sur un canal rapporte moins que le précédent, parce que l’audience est finie, que la fréquence s’accumule et que l’inventaire le moins cher part en premier. La fonction de Hill en est la forme standard :
saturation(x) = x^s / (k^s + x^s)
Elle va de 0 à 1. Deux paramètres lui donnent sa forme. Le point de demi-saturation k est la dépense à laquelle le canal délivre la moitié de son effet maximal. La forme s contrôle la raideur : en dessous de 1, la courbe est concave dès le départ ; au-dessus de 1, elle est en S, plate à faible dépense, raide au milieu, plate à nouveau en haut.
Pourquoi c’est important pour un plan média
La saturation est toute la raison pour laquelle un plan ne peut pas se construire sur des retours moyens. Un canal à trois fois son point de demi-saturation affiche encore un bon retour moyen, parce que les premiers euros l’ont gagné, alors que le prochain euro ne rapporte presque rien. La moyenne décrit le passé ; la pente décide du prochain euro.
C’est aussi pourquoi le budget bouge. Si le canal A a passé son coude et que le canal B ne l’a pas atteint, le même euro déplacé de A vers B rapporte plus, même si le retour moyen de A est plus élevé. C’est l’arithmétique derrière chaque réallocation que propose le Media Planner.
Comment ça marche
Dans un modèle de mix média, la saturation s’applique à la dépense adstockée, si bien que ce qui sature est l’effet accumulé, pas la dépense d’une semaine. La contribution du canal est alors le coefficient multiplié par la valeur saturée.
La dépense doit être normalisée avant l’ajustement, en général divisée par sa moyenne. Alors k se lit en multiples de la semaine moyenne : k = 1 signifie que le canal est à moitié utilisé à sa dépense typique, k = 2 qu’il y a beaucoup de marge, k = 0,5 qu’il a largement dépassé son coude. Des priors normalisés se transfèrent aussi d’une marque à l’autre, ce qui compte quand un plan part de benchmarks.
Un jeu de priors par défaut utile sur l’échelle normalisée : k centré près de 1 avec une large dispersion, et s centré près de 2. Les canaux à seuil connu, la télévision pour une petite marque, l’affichage, peuvent partir d’un s plus élevé. Les canaux qui répondent dès le premier euro, search, retargeting, peuvent partir en dessous de 1.
La courbe de réponse qu’un planneur lit est cette fonction multipliée par le coefficient du canal et exprimée en chiffre d’affaires. Sa pente à la dépense actuelle est le retour marginal.
Comment Kuwalyst l’utilise
Chaque canal d’un plan fondé sur les données porte ses k et s ajustés sur la fiche du modèle, et le planner lit la courbe de réponse à la dépense engagée pour dire où se situe chaque canal : avant le coude, dessus, ou au-delà. Une recommandation de déplacer du budget nomme la position du canal source sur sa courbe, pour que le lecteur voie l’arithmétique et pas seulement la conclusion.
Pour les plans fondés sur les benchmarks, le point de demi-saturation vient du registre, par type de canal et tranche de budget, étiqueté comme benchmark. Le plan le liste parmi les hypothèses à tester en premier, parce que la saturation est le paramètre le plus spécifique à une marque.
Les pièges
L’extrapolation : l’ajustement ne connaît que la plage de dépense qu’il a vue. Une courbe qui dit qu’un canal pourrait absorber trois fois sa meilleure semaine historique est une conjecture sur un endroit où les données ne sont jamais allées. Les scénarios qui sortent de la plage observée doivent le dire, et le planner les plafonne.
La confusion avec l’adstock : une longue traîne d’adstock et un k faible peuvent expliquer les mêmes semaines qu’une traîne courte et un k élevé. Des priors forts sur la décroissance gardent la saturation honnête.
Les effets de seuil sur peu de données : une forme en S a besoin de semaines à faible dépense pour situer le seuil. Sans elles, s est le prior.
La saturation n’est pas l’usure : Hill décrit des rendements décroissants à un instant donné. Une création qui s’use au fil des mois est un autre effet et demande un autre terme.